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[논리학] 1. Atomic Sentences 본문

학교 수업/1학년 1학기

[논리학] 1. Atomic Sentences

푸우키 2024. 11. 18. 00:18

논리학에서 사용하는 단어 개념 정리

Logic (논리)

-참/거짓을 가리기 위해 엄격한 검증 원리에 따라서 추론하는 것

Syntax (문법)

-논리적 문장 구조를 정의하기 위한 논리적 시스템

-논리적 문장 구조 정의를 위한 문법

syntanx에 맞추어 작성해야 syntax error가 발생하지 않음

 

Semantics (참/거짓)

-논리적 문장의 참/거짓

-어떤 문장의 semantics? 그 문장의 참 or 거짓을 밝히기

영한사전의 "의미"로 번역하는 것은 바르지 않음

 

First Order Logic (FOL) (1차 논리)

-Individual Constants에만 한정 기호를 가할 수 있고, Predicate에는 한정 기호를 가할 수 없는 논리 체계 

 

Individual Constants (개별 상수)

-실제 존재하는 객체(object)를 나타내는 심볼/이름 (symbol/name)

Natural Language Ji-Sung Park Three
Individual Constants of FOL (영어소문자로 시작) park 3

 

제한 사항

    • 모든 Individual Constants는 반드시 실제로 존재해야 함
    • ex) Pegasus, Zeus, Snata Claus -> 실제로 존재 X -> FOL에서 허용 X
    • 하나의 Individual Constants는 하나의 Object만 지칭해야 함
    • ex) park이라는 개별 상수가 Ji-Sung Park, Tae-Hwan Park라는 객체를 모두 가리킬 수 X
    • 하나의 Object는 두 개 이상의 Individual Constants로 표시할 수 있음
    • ex) j-park, js, pjs로 Ji-Sung Park이라는 객체 하나를 가리킬 수 있음
    • 어떤 Object를 논리적 시스템에서 가리키지 않으면 이름을 붙이지 않아도 됨
    • = 지칭할 필요가 없다면 이름이 없을 수 있음

 

Predicate Symbols (술어)

-어떤 객체의 성질이나 두 개 이상의 객체 사이의 관계(= relation symbol)를 표현하는 것

-영어 문장에서 동사/형용사에 해당

Natural Language Sarah is at Home Sarah likes Tom's brother
Individual Constants of FOL (영어대문자로 시작) Home Likes

 

-모든 predicate은 하나 이상의 인자를 받음

-모든 predicate은 그 의미 (semantic)가 결정적(determinate)이어야 함

-예시에서 Home(sarah), Likes(sarah, toms_bro)로 인자 개수가 각각 1개, 2개

-Arity (인자의 개수)는 고정

 ex) Home - arity가 1 (unary)

       Likes - arity가 2 (binary)

       Sent - arity가 3 (ternary)

       arity가 4 이상인 경우에는 4-ary, 5-ary,...로 표현

 

Atomic Sentences (원자 명제)

-Predicate을 써서 표현한 문장

-Predicate에는 알맞은 개수의 인자가 들어가야 함

 

ex (Prefix)(+AB와 같이 앞에 붙는 것)

-Claire is taller than Max -> Taller(claire, max)

-A is a cube -> Cube(a) : a라는 객체의 성질을 나타냄

 

ex (Infix)(A=B와 같이 중간에 붙는 것)

-A is equal to B

-굳이 prefix로 표현하려면 Eq(a,b)와 같이 나타낼 수도 있음

-a=b : 두 개체상수 사이에 들어가는 predicate의 예시

-2:00 pm is earlier than 2:05 pm -> 2:00 < 2:05

 

-Atomic Sentence는 하나의 predicate과 n (n-ary) 개의 term이 인자로 들어가서 이루어진 문장

-대부분의 predicate은 prefix지만 = 와 같이 infix로 된 경우도 있음

 

Atomic Sentences의 특징

  • 술어 (Predicate)에 들어가는 인자의 순서가 매우 중요!
  • Atomic Sentence의 semantic은 항상 결정적 (determinate)이어야 함
  • -> 참/거짓이 결정적(변화X) 이어야 함
  • ->atomic sentence를 작성할 때는, 시간에 따라서 상대적으로 변화하도록 작성하면 안 됨
  • 예를 들어 Home(sarah), Young(tom), Loves(sarah, tom)은 시간에 따라 변화할 수 있는 것 임

Determinate Property

-FOL (First Order Logic)에서 하는 약속

  • FOL에서 모든 predicate은 결정적 (determinate)으로 해석함
  • -> 즉, 시간의 흐름이나 상대성으로 참/거짓이 바뀌면 안 됨
  • FOL에서는 모든 predicate이 애매한 것 없이 하나의 속성이나 관계에 의해 해석된다고 가정

Functional Symbol (함수)

-name이나 predicate 외에 문장을 나타내기 위해 사용하는 표현

ex) Max's father -> max_father보다 father(max)로 표현

 

Terms

-개별적인 객체를 지칭하기 위해 사용하는 것

-Individual Constants나 Functional Symbol을 Term이라고 함

 

-Simple terms : 개별 상수 ex) sarah, tom

 

-Complex terms

1. 인자에 simple 또는 complex term이 하나 이상 들어간 functional symbol

2. Functional symbol의 인자에는 term이 들어가야 함

3. 함수 내에 들어가는 대상도 반드시 유일한 하나 (one and only one)의 객체여야 함

Natural Language Sarah's mother Sarah's mother's mother
term of FOL (모두 소문자로 표현) mother(sarah) mother(mother(sarah))

 

 

-n개의 arity를 받는 predicate에 n개의 term을 이용한 표현

-Atomic sentence의 문법 : predicate(term,..., term)

Natural Language Sarah is at Home Sarah likes Tom's brother
FOL Home(sarah) Likes(sarah, brother(tom))

 

-predicate에 들어가는 arity는 고정

Atomic Sentence Predicate Arguments Arity
Home(sarah) Home sarah unary
Likes(sarah, brother(tom)) Likes sarah, brother(tom) binary
Sent(sarah, tom, email) Sent sarah, tom, email ternary

 

Functional Symbol vs. Predicate

외형적 차이

1. Functional symbol은 소문자로 시작

2. Predicate은 대문자로 시작

 

-Functional symbol은 하나의 존재하는 객체를 지칭하기 위해서 사용

  • Functional symbol 안에 반복적으로 functional symbol이 사용될 수 있음
  • 문법적으로 올바름
  • ex) father(father(max)) -> father(max)는 sentence가 아니라 term에 해당
  • 문법적으로 틀림 (술어 안에 술어가 들어간 형태)
  • ex) Home(Home(sarah)) -> Home(sarah)는 atomic sentence에 해당하고 term이 아님

 

First Order Logic vs. Second Order Logic

First Order Logic

1. Individual constant, Predicate, Functional symbol 그리고 quantifier를 사용하여 표현하는 논리적 시스템

 

Second Order Logic (수업 X)

1. First Order Logic의 확장판

2. First Order Logic에서는 Individual Constant만 한정(어떤, 모든)할 수 있음

3. 반면에second-order logic에서는 predicate까지 한정이 가능

=> 즉, 모든 객체의모든속성에대하여표현가능

∀𝑃∀𝑥 𝑃 𝑥 ∨¬𝑃 𝑥 • 의미: 모든 x에 대하여 모든 문장 P는 참이거나 거짓이다(FOL에서는 표현불가)

 

Quiz

1. Claire's favorite actor's favorite actor is Brad.

     -> fav(fav(claire)) = brad

2. Dodec(Dodec(a)) is right? or wrong?

     -> wrong. Sentence cannot be an argument of a predicate. 

         Dodec(a)는 term이 아닌 atomic sentence 이기 때문에, 인자로 사용될 수 없음.