[논리학] 3. The Boolean Connectives
Boolean Connectives (=Truth Functional Connectives)
Simple Connectives
- Conjunction(= and)
- Disjunction(= or)
- Negation(= not)
-> Truth table을 이용해 complex sentence의 truth 판단을 할 때,
complex sentence를 simpler sentence로 쪼갤 때 사용
Negation (¬)
- 부정하려는 문장 앞에 붙여 씀 (= not에 대응)
- 문장 앞에 몇 개든지 붙여 쓸 수 있음
ex) John isn't home.
-> ¬Home(john)
ex) 동일성 부정에 사용 가능
-> ¬(b=c) -> b ≠ c
- Atomic sentence 또는 atomic sentence에 ¬을 붙였을 때, 이를 literal 하다고 함
- FOL 문장 P가 있다면, ¬P도 FOL 문장이 됨
- ¬P는 P가 참이 아닐 때만 참이 됨 (iff)
※ iff: if and only if
Conjunction (∧)
- 영어에서 and, moreover, but에 대응
- 두 문장 사이에 위치함
-> 즉, P 와 Q 두 문장이 주어지면 P ∧ Q 로 사용
ex) John is home and Mary is home
-> Home(john) ∧ Home(mary)
영어 문장에서 and가 없는 경우
ex) d is a large cube
-> Large(d) ∧ Cube(d)
- P와 Q가 FOL의 문장이면, P ∧ Q도 FOL 문장
- FOL 문장 P ∧ Q는 P와 Q가 모두 참일 경우에만 참이 됨 (iff)
- 따라서, P ∧ Q는 P 또는 Q가 거짓일 때, 거짓이 됨
Disjunction (∨)
- 영어에서 or에 대응
- 두 문장 사이에 위치
-> 즉, P 와 Q 두 문장이 주어지면 P ∨ Q 로 사용
Semantic : 참인 경우
- P ∨ Q 는 P나 Q 둘 중 하나만 참이거나 둘 모두 참일 때는 참
= P ∨ Q 는 P 가 참이거나 Q가 참이면 참임 (또는 둘 다 참일 때 참)
ex) John is home or Mary is home
-> Home(john) ∨ Home(mary)
Semantic : 참인 경우는 아래와 같음
– John is home 이 참이지만 Mary is not 인 경우 (exclusive)
– Mary is home 이 참이지만 John is not 인 경우 (exclusive)
– John 과 Mary 모두 home 인 경우 (inclusive)
※ 항상 exclusive한 경우와 inclusive한 경우 모두 포함
-> exclusive를 표현할 때는 아래와 같이 씀
[Home(john) ∨ Home(mary)] ∧ ¬[Home(john) ∧ Home(mary)]
Either or
-영어에서는 둘 중 하나만 선택
- 그러나 FOL 번역할 때, disjunction 그대로 사용 (inclusive, exclusive)
ex) Either Pris bit Scruffy or Scruffy bit Pris
-> Bit(pris, scruffy) ∨ Bit(scruffy, pris)
Neither nor
- 둘 모두 선택 못하는 경우이므로 아래와 같이 사용
ex) Neither John nor Mary is at home
-> ¬(Home(john) ∨ Home(mary))
-> 두 명 중 한 명도 집에 없고, 둘 모두 다 집에 없음
- P 와 Q 가 FOL 의 문장이라면, P ∨ Q 도 FOL의 문장임
Ambiguity and Parentheses
- 불분명한 문장은 괄호를 사용하여 명확하게 표현
- 순서: ¬ > ∧ > ∨
- 다른 connective 를 쓸 때는 conjunction 과 disjunction 에 괄호 사용